Наша постійна рубрика – недільні задачки 🧠⚡️

Уявімо, що ми з вами – сучасні школярі.  В нас там суворий завуч вирішив використати камеру проти списування. Статистика каже: 
10% усіх учнів регулярно списують зі шпаргалок (отже, 90% пишуть самі).

Завуч встановлює нову камеру. Якщо учень дійсно списує, камера помічає це з ймовірністю 90% (чутливість)

Якщо учень пише сам, камера все одно може помилитися (наприклад, коли той просто нервово чухає голову під час контрольної). 

Ймовірність такої хибної тривоги – 5%.

І от камера зреагувала й видала сигнал «Списує!» на випадкового учня.

Яка реальна ймовірність того, що цей учень дійсно списував, а не просто чухав голову?

Вирішуємо задачу за теоремою Байєса

1. Запишемо, що ми маємо: 

P(Списує) = 0.10 – початкова ймовірність, що учень списує. 
P(Чесний) = 0.90 –  ймовірність, що учень пише сам. 
P(Сигнал | Списує) = 0.90 – шанс спрацювання камери на реальному порушникові. 
P(Сигнал | Чесний) = 0.05 – шанс похибки камери з чесним учнем.

2. Рахуємо загальну ймовірність сигналу (Формула повної ймовірності)

Камера може спрацювати у двох випадках: коли спіймала учня, що списує і коли помилилася на чесній дитині.

Істинні спрацювання: 0.90 × 0.10 = 0.09 (9% від усіх учнів)
Хибні спрацювання: 0.05 × 0.90 = 0.045 (4.5% від усіх учнів)

Загальний шанс того, що камера спрацює: 0.09 + 0.045 = 0.135 (або 13.5%)

3. Застосовуємо теорему Байєса

Тепер ділимо частку справжніх порушників на загальну кількість усіх писків камери:

P(Списує | Сигнал) = 0.09 / 0.135 = 2/3 ≈ 66.7%

Інтуїтивно завучу здається: «Точність камери 90%, отже, цей учень винен!».

Але виявляється, що майже кожен третій учень (33.3%), на якого зреагувала система, виявиться невинуватим.

Так відбувається тому, що чесних людей у вибірці більшість (90%).

Навіть маленька помилка системи у 5% генерує таку купу хибних обвинувачень, яка сильно «розбавляє» масу реальних порушників.

На мові DS: результат 66,7% це precision (точність сигналу): частка справжніх порушників серед усіх спрацювань. Решта 33,3% це частка хибних спрацювань серед усіх сигналів (False Discovery Rate), і вона набагато більша за False Positive Rate камери (5%). Саме через це алгоритми не можна залишати без контролю людини.

Що розберемо наступного тижня?))